ほかの惑星の新年を思う(3) - 非線型のmatryosika

昨日の続きです。今日が最後です。

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知的生命を有する惑星の一年

さて、次の考察のために、今まで考察してきた結果をまとめると、

公転周期 $T$ は中心星質量 $M$ と惑星の平均軌道半径 $r$ を用いて $T\propto M^{-\frac{1}{2}}r^{\frac{3}{2}} \tag{1}$ と表される（Keplerの法則）。
ハビタブルゾーンの距離 $r$ は、中心星光度 $L$ を用いて、 $\displaystyle L\propto r^2 \tag{3}$ と表される。
中心星の質量光度関係： $\displaystyle L\propto M^3. \tag{4}$
知的生命体を有する惑星系の中心星はG型星であり、太陽質量の $\pm 30\%$ である。

となります。これらの条件から、知的生命を有する惑星の1年の長さがどのくらいの時間幅になるのかを計算してみましょう。（3）式と（4）式を合わせれば、 $r^2\propto M^3$ すなわち、 $r\propto M^\frac{3}{2}$ がわかり、これを（1）式に代入すれば、 $T\propto M^{\frac{7}{4}} \tag{5}$ が従います。この式は中心星質量と、知的生命を有する惑星の1年の長さの関係を表す式になります。

さて、この式を用いて、知的生命を有する惑星の1年の値を具体的に求めてみましょう。この計算のためには「中心星がG型星である」という条件を使います。 $M$ にG型星の質量範囲である0.7-1.3 太陽質量という値を代入すれば、 $T$ は0.536-1.583 地球年、つまり195.5-577.7 地球日という値となります。つまり、知的生命が存在する惑星の1年は、数百地球日程度であると言えます。

未だ見ぬ知的生命はどんな体の構造をしているか見当もつかず、それゆえ彼らの生理的時間は桁で異なる可能性も捨てきれません。しかしながら、今回の考察で、彼らの「1年の長さ」は地球のそれとそんなに変わらないということが分かりました。おそらく、彼らの文明においても、社会的時間周期として「1年の長さ」が重要であるはずですから、彼らと人類で共有しやすい時間感覚なのではないかと思います。

今回の記事は「地球に似た惑星であれば1年の長さも似ている」というごく当たり前の事実を確認しただけですが、どのくらい似ているのかというのは重要な問題です。きっとこの結果は500年後くらいには使えるかもしれないので、皆さんも覚えておくといいかもですね。